軌道を手放して——量子力学の誕生と、前期量子論が残したもの

1925年までの前期量子論は、継ぎ足すほどに当たり、そして継ぎ目から裂けていきました。そこから1927年までのわずか3年ほどで、物理学者たちは電子の「通り道」という考え方そのものを手放し、新しい力学——量子力学——を手に入れます。前期量子論をたどるシリーズの最終回は、その飛躍と、飛躍のあとに何が残ったのかの話です(第4回はこちら)。

電子にも波がある——1924年、ド・ブロイの物質波

最初の一歩は、意外な方向から来ました。フランスのルイ・ド・ブロイは、1923年の短い論文と、1924年にまとめた学位論文で、こう考えます。光が波でありながら粒としてもふるまうのなら(第2回で見たアインシュタインの光量子です)、逆に、粒だと思われていた電子も波としてふるまうのではないか。

第2回で見たように、光量子がなかなか受け入れられなかったのは、光が干渉や回折という、波にしかできないふるまいを見せるからでした。ド・ブロイは、その「粒か波か」という問題を、光だけでなく物質にまで広げたことになります。電子の波の長さは、電子の勢い(運動量)が大きいほど短い、とされました。

この考え方を使うと、第3回で「理由のない約束事」のままだったボーアの条件に、一つの説明がつきます。電子の波が原子核のまわりを一周したとき、ちょうど整数個の波で元の位置に戻れば、波は自分自身となめらかにつながり、形を保てる。半端な数だと、一周ごとに山と谷が食い違ってしまう。許される通り道が飛び飛びなのは、波がぴったり収まる長さが飛び飛びだから、というわけです。

電子が本当に波としてふるまうことが確かめられたのは、1927年です。アメリカのデイヴィソンとジャーマーはニッケルの結晶に、イギリスのG・P・トムソンとリードは薄い膜に電子を当て、波にしか作れない回折の模様(波が物の縁を回り込み、重なり合ってできる濃淡の縞)をとらえました。

見えないものは使わない——1925年、ハイゼンベルクの「読み替え」

別の道から決定的な一歩を踏み出したのが、ゲッティンゲンにいた23歳のヴェルナー・ハイゼンベルクです。1925年7月29日に投稿した論文の冒頭に、彼はこう書きました。この論文は、原理的に観測できる量のあいだの関係だけにもとづいて、量子論の力学の土台を作ろうとするものである。

観測できないもの、とは電子の通り道のことです。原子の中の電子がどこを回っているかは、誰も見たことがありません。見えているのは、原子が出す光の色(周波数)と強さだけです。そしてその二つは、第4回で紹介した対応原理が扱っていたものでした。ハイゼンベルクは、古典物理で「通り道の形」を表していた量を、「どの状態からどの状態へ飛び移るか」という、二つの状態の組ごとの量に置き換えました。対応原理の考え方を、そのまま力学の骨組みにしたのです。

その量どうしを掛け算する規則を作ってみると、奇妙なことが起きました。掛ける順番を入れ替えると、答えが変わるのです。ふつうの数なら2×3と3×2は同じですが、ここではそうなりません。論文を受け取ったボルンは、これが数学でいう「行列」(数を縦横に並べた表)の掛け算と同じだと気づきます。9月には弟子のヨルダンと、11月にはハイゼンベルクも加えた3人で、新しい力学を体系にまとめました。行列力学です。

ハイゼンベルクが花粉症を避けて北海の小島ヘルゴラントに渡り、一夜のうちに計算を合わせて量子力学を生んだ——という話はよく知られています。ただしこれは、本人が1969年に出した回想録に書いたものです。当時の手紙を見ると、彼は島に行く前も帰ってからも仕事を続けていて、仕上がった原稿にも自信を持てず、発表してよいかをボルンに委ねています。論文そのものも難解で、のちに物理学者ワインバーグは「純粋な魔法」と評しました。ひらめきの一夜という形は後から整えられた物語で、実際には何人もの手で数か月かけて組み上げられたものでした。

波の方程式——1926年、シュレーディンガー

1926年の初め、チューリッヒ大学のエルヴィン・シュレーディンガーが、ド・ブロイの物質波を手がかりに、電子の波が従う方程式を書き下します。弦をはじくと決まった高さの音しか出ないように、原子核に引き寄せられた電子の波にも、決まった形の揺れ方しか許されない。その揺れ方ごとのエネルギーを計算すると、ボーアが1913年に得た水素のエネルギーの並びが、そのまま出てきました。今度は、あとから付け足す約束事なしにです。

シュレーディンガーの支えになったのは、光との類推でした。光は波ですが、波の長さが十分に短ければ、光線がまっすぐ進むという古い光学で足ります。同じように、古典力学は新しい波の力学の近似になっている——彼の研究ノートを調べた歴史家は、シュレーディンガーがこの見通しを2本目の論文の準備中につかんだと指摘しています。第4回の対応原理が「数が大きいところでは、量子論の答えは古典物理に近づくはず」と求めていたことが、ここでは理論の組み立てそのものになっていました。

行列の計算と、波の方程式。見た目がまったく違う二つの理論は、同じ1926年のうちに、シュレーディンガー自身によって中身は同じものだと示されます。

新しい力学は、前期量子論が越えられなかった壁も越えました。1926年6月と7月に投稿した論文で、ハイゼンベルクは電子2個のヘリウムに取り組み、ヘリウムの出す光の線が二つのグループに分かれて見える理由を、二つの電子が互いに入れ替わるという、古典物理には無いふるまいから説明します。エネルギーの値も、本人が「模型の制約と当時の測定の精度を考えれば満足できる」と見なす程度に合いました。第4回で最後まで計算が合わなかったヘリウムは、力学を取り替えることで、ようやく計算できる相手になったのです。

波が教えるのは、見つかる確率だった

では、電子の波とは何の波なのか。シュレーディンガーは、電子そのものが波のように広がっていると考えたがっていました。しかし1926年6月25日、ボルンは、電子が原子にぶつかって散らばる計算を投稿し、別の読み方を示します。波が決めるのは、電子がどちらへ飛んでいくかではなく、どちらへ飛んでいく確率なのだ、と。ボルンは同じ論文で「私自身は、原子の世界で結果がただ一つに決まることをあきらめたい気持ちに傾いている。だが、それは哲学の問題だ」と書いています。やがて、波の揺れ幅を2乗したものが、その場所で電子が見つかる確率を表す、という形で定着しました。

1927年3月23日に投稿した論文で、ハイゼンベルクはさらに踏み込みます。電子の位置と勢いを、同時にいくらでも正確に決めることはできない。位置を知ろうとして波長の短い光を当てれば、光がぶつかった衝撃で勢いが乱れる。どちらかを正確に決めるほど、もう一方はぼやけ、二つのぼやけを掛け合わせた大きさは、およそプランクの定数 h になる。これが不確定性関係です。同じ論文で、彼はこう書きました。「通り道は、私たちがそれを観測することによって初めて生じる」。

第3回で断り、第4回で呼び戻した「軌道という描き方は、現在の量子力学では成り立たない」という一文は、ここに由来します。電子が原子核のまわりを決まった線を描いて回っている、という絵そのものが、この時点で手放されたのです。

前期量子論が残したもの

では前期量子論は、まちがった理論として捨てられたのでしょうか。振り返ると、そう言い切ることはできません。

残ったものの一つ目は、h という刻みです。1900年にプランクが「絶望的な行為」として持ち込んだこの数は、新しい力学のあらゆる式に入り、不確定性関係の大きさまで決めています。2019年からは、キログラムの定義にも使われています。

二つ目は、答えそのものです。水素のエネルギーの並びは、シュレーディンガーの方程式からそのまま出てきました。原子の中の電子を四つの数で指定するというパウリの規則も、新しい力学の中で意味を与えられて生き残りました。

三つ目は、考え方です。答えを知らないまま、古典物理との対応から答えを推し量る。対応原理はハイゼンベルクの論文の足場になり、シュレーディンガーの光との類推にも形を変えて生きていました。新しい理論は、古い理論が当たっていた範囲では古い理論の答えを再現しなければならない。この要求は、今日でも物理学者が新しい理論を試すときの物差しです。

捨てられたのは、電子が決まった通り道を回っている、という絵でした。けれども、その絵で数字を当て、その絵ではどうしても当たらない場所を突き止めたからこそ、何を捨てるべきかが分かったのです。前期量子論は、「どこまでできて、どこからできないのか」を、誰よりも正確に示した理論だったと言えるかもしれません。

1927年に手に入れた力学は、およそ100年後のいまも、半導体の設計から、重ね合わせと干渉を計算に使う量子コンピュータまで、技術の土台であり続けています。ただし、確率とはそもそも何なのか、観測するときに何が起きているのか——ボルンが「哲学の問題」と呼んだ問いについては、物理学者のあいだでいまも意見が分かれています。