捨てられなかった答えが、粒になった——ディラックの方程式と陽電子、1928〜1932年

前回は、原子核から出てくる粒が壁を「すり抜ける」話でした(第2回はこちら)。第3回は、同じ1928年に書かれた一本の方程式の話です。量子力学を、アインシュタインの相対性理論と両立する形に書き直す。その作業から生まれた方程式には、頼んでいない答えが二つ付いてきました。一つはすぐに歓迎され、もう一つは持て余されたあげく、まだ誰も見たことのない粒の予言に変わります。

速い電子を、まだ扱えなかった

1926年に形になった量子力学には、はっきりした弱点がありました。光の速さに近い速さで動くものを正しく扱えない、つまり相対性理論と両立していなかったのです。水素原子の電子の速さは、光の速さの約137分の1。たいていの計算では困りません。けれども、水素の光の線がよく見ると細かく割れているという「微細構造」は、この相対論のわずかな効き目から生まれます(前シリーズ第4回で見た、ゾンマーフェルトの仕事です)。

もう一つ、スピンの問題がありました。電子には、小さな磁石のようにふるまう生まれつきの性質があります。1927年、パウリはこれを量子力学に組み込みましたが、それは外から付け足したものでした。なぜ電子がそういう性質を持つのかは、説明されていません。

相対論に合う波の方程式そのものは、1926年にクラインやゴルドンがすでに書いていました。ただ、ケンブリッジ大学のポール・ディラックは、その形に満足しませんでした。時間の扱い方が、量子力学の一般的な組み立てと噛み合っていない、と考えたからです。

足していないのに、スピンが出てきた

ディラックの論文は、1928年1月2日に王立協会に届きました。相対論と量子力学、両方の要求を満たすいちばん単純な方程式を探す。そのためにディラックが払った代償は、電子の波を一つではなく、四つ一組にすることでした。

すると、思いがけないことが起こります。四つ一組にしたことで増えた自由度が、そのまま電子のスピンになっていたのです。ディラックは論文の冒頭で、自然はなぜ、ただの点のような電子で満足せず、スピンを持つ電子を選んだのか、と問いかけています。答えは、相対論と量子力学を両立させるとそうなる、でした。付け足す必要は、はじめからなかったのです。

同じ年の3月、物理学者のチャールズ・G・ダーウィンが、この方程式を水素原子について近似なしに解きました。出てきたのは、ゾンマーフェルトが1916年に出していた式そのものでした(ゴルドンも同じ問題を解いています)。

これは奇妙な一致です。ゾンマーフェルトはスピンを知らず、電子が楕円の軌道を回るという、いまでは成り立たない絵から式を出していました。それでも式は合っていた。前シリーズで何度も見た「正しい答えが、違う理由から出ていた」例が、ここにもう一つ加わります。

欲しい答えと同じ数だけ、欲しくない答えがあった

四つ一組の波のうち、スピンの説明に要るのは半分でした。残りの半分は何か。ディラック自身の言い方では、欲しい答えと同じ数だけある「欲しくない答え」です。それは、電子のエネルギーがマイナスになる状態でした。

マイナスのエネルギーを持つ電子は、常識の逆にふるまいます。ディラックはのちに、速く動くほどエネルギーが少なく、止めるにはエネルギーを与えなければならない、と説明しています。そんな電子は、誰も見たことがありません。

古い物理なら、この答えは「意味がない」と捨てれば済みました。エネルギーは少しずつ連続的にしか変わらないので、プラスの側にいる電子がマイナスの側へ移ることはないからです。ところが量子力学では、電子は離れた状態へ飛び移れます。マイナスの状態が式の上にあるかぎり、ふつうの電子はそこへ落ちていけるはずで、しかも落ちる先に底がありません。

1929年にはクラインが、十分に高い壁に電子をぶつけると、すべて跳ね返されるはずの電子の一部が壁の向こうへ入っていく、という計算結果を出しました。第2回の「すり抜け」よりさらに奇妙な話で、ここにもマイナスのエネルギーの状態が顔を出しています。ハイゼンベルクはパウリに宛てて、ディラックの方程式は「現代物理学でいちばん悲しい章」になった、と書きました。スピンと微細構造をみごとに当てた方程式が、同時に、安定した世界はありえないと言っていたのです。

満員の席と、ひとつの空席

1929年12月、ディラックは解決策を投稿します。鍵は、前シリーズ第4回に出てきたパウリの排他原理、つまり「一つの状態には電子が一つしか入れない」という規則でした。

ディラックはこう考えました。マイナスのエネルギーの状態は、実はすでに電子でびっしり埋まっているのではないか。満員なら、ふつうの電子はそこへ落ちていけません。そして、どこもかしこも一様に埋まっているなら、私たちはそれに気づけない。私たちが「何もない」と呼んでいる真空は、満員の席のことだ、というわけです。

では、席が一つだけ空いたらどうなるか。マイナスの電気とマイナスのエネルギーを持つものが一つ欠けているのですから、まわりから見れば、プラスの電気とプラスのエネルギーを持つ粒がそこにあるように見えます。ディラックは最初、この空席こそ陽子(水素の原子核)だと考えました。当時知られていた粒は電子と陽子の二つだけ。両方を一つの理論で説明できるなら、理想的だったからです。

この案はすぐに行き詰まります。オッペンハイマーとタムは、もし陽子が空席なら、電子がそこへ落ち込んで両方とも消えてしまう反応が速すぎる、と指摘しました。数学者のワイルは、空席の質量は電子と同じでなければならないと論じました。陽子は電子の約1800倍も重いのです。

1931年5月、ディラックは考えを改めます。別の主題を扱った論文の序論で、空席は「実験物理学にまだ知られていない新しい種類の粒」で、電子と同じ質量と反対の電気を持つ、と書きました。彼はそれを「反電子」と呼び、十分にエネルギーの高い光があれば、電子と反電子が同時に生まれるはずだとも述べています。必要なエネルギーは、電子2個ぶんの質量にあたる約1 MeVです(MeVは第2回にも出てきたエネルギーの単位で、数字が大きいほど勢いが強いことを表します)。

1932年8月、霧箱に残った一本の筋

カリフォルニア工科大学のカール・アンダーソンは、そのころ宇宙から降ってくる粒(宇宙線)を調べていました。道具は霧箱です。電気を帯びた粒が通ると、通り道に沿って細かい水滴の筋が残る箱で、強い磁石の中に置くと、筋は電気がプラスかマイナスかによって逆向きに曲がります。

困るのは、筋を見ただけでは粒がどちらへ進んだのか分からないことです。右へ進んだプラスの粒と、左へ進んだマイナスの粒は、同じ形の筋を残します。そこでアンダーソンは、箱のまん中に厚さ6ミリの鉛の板を入れました。粒は板を通り抜けると勢いを失い、そのぶんきつく曲がります。きつく曲がっている側が「あと」だと分かるのです。

1932年8月2日の一枚には、板の手前で 63 MeV、通り抜けたあとで 23 MeV の筋が写っていました。進んだ向きが決まり、曲がる向きから電気はプラスだと分かります。プラスの粒なら陽子のはずですが、陽子がこれほどきつく曲がるなら、5ミリほどで止まってしまいます。筋は5センチ以上続いていました。アンダーソンは1300枚の写真から15本のこうした筋を見つけ、質量は電子の20倍より小さいと結論します。翌年の論文で、彼はこの粒を「陽電子(ポジトロン)」と呼びました。

この発見は、よく「ディラックが予言し、アンダーソンが確かめた」とまとめられます。実際の経緯は、もう少し入り組んでいます。アンダーソンはディラックの方程式は知っていても、反電子の予言は知らなかったようで、のちに発見は「まったくの偶然だった」と述べています。筋をディラックの理論と結びつけたのは、ケンブリッジ大学のブラケットとオキャリーニでした。二人は、粒が通ったときだけ自動で撮影される霧箱を作り、1933年、プラスとマイナスの電子が対になって現れることを、ディラックの理論で理解できると提案します。それでもボーアとパウリは、見つかった粒をディラックの「空席」と同じものと見ることに、しばらく抵抗しました。

この時点でできたこと、できなかったこと

ディラックの方程式が成し遂げたことは三つあります。スピンを、付け足しではなく理論の帰結にしたこと。水素の線の細かい割れを、近似なしに導いたこと。そして、式に残った「欲しくない答え」を捨てずに考え抜き、誰も見ていない粒の存在を言い当てたことです。1933年12月のノーベル賞講演でディラックは、プラスとマイナスの電気は完全に対等であり、マイナスの電気を持つ陽子もおそらくあるだろう、と述べました。その反陽子は1955年に見つかります。陽電子のほうは、いまでは病院のPET検査で、体の中を写すのに使われています。

できなかったことも、はっきりしています。まず、満員の席という絵そのものです。真空には無数の電子が詰まっていて、しかもそれは見えない。この考えは正しい予言を生みましたが、落ち着きの悪いものでした。1934年にはパウリとヴァイスコップが、この絵を使わなくても反対の電気を持つ粒が出てくることを示します。いまの理論は、満員の席なしで組み立てられています。

次に、水素です。1947年、ラムとレザフォードは、ディラックの方程式ではぴったり同じ高さになるはずの二つの状態に、わずかな差があることを測り出しました。この方程式が扱うのは一個の電子です。電子が光をやりとりし、粒が生まれたり消えたりする世界の全体までは、扱いきれていませんでした。

第1回と第2回では、「答えが出せること」と「腑に落ちること」の距離を見てきました。今回は、その裏返しの例です。満員の席という絵は、腑に落ちやすく、そしてのちに手放されました。それでも、その絵から出た予言は当たっています。分かりやすい絵が正しいとは限らない。けれども、のちに捨てられる絵が、正しい答えへの足場になることはある。ゾンマーフェルトの楕円がそうだったように。

次回は、固体の中の電子です。金属は電気をよく通し、ダイヤモンドはほとんど通しません。どちらの中にも電子はたくさんあるのに、なぜこれほど違うのか。量子力学は、この身近な問いにも答えを出していきます。